INTORNO AI FONDAMENTI DELLA GEOMETRIA SOPRA LE SUPERFICIE ALGEBRICHE.

Torino, Carlo Clausen, 1901. 8°, pp. 21, brossura editoriale. Ottima copia.
Nacque a Livorno il 5 genn. 1871 da Giacomo e da Matilde Coriat.
La famiglia si trasferi a Pisa, dove egli frequentò le scuole secondarie. Già qui manifestò la sua attrazione per la matematica: come ebbe più tardi a sottolineare, questa attrazione non fu causata da una propensione per questioni di ordine tecnico, quanto provocata da "un'infezione filosofica liceale". Segui gli studi di matematiche presso l'università e poi la Scuola normale superiore di Pisa, dove ebbe come maestri grandi matematici come E. Betti, U. Dini, L. Bianchi, V. Volterra e R. De Paolis.
Laureatosi brillantemente nel 1891, dopo un anno di perfezionamento a Pisa, venne a Roma nel novembre del 1892 per seguire il corso di L. Cremona, sempre come studente di perfezionamento. Qui ebbe inizio il lungo sodalizio di lavoro con Guido Castelnuovo, di sei anni più anziano, e anche la profonda amicizia che si trasformò in parentela (Castelnuovo sposò una sorella dell'Enriques). Alla fine dell'anno accademico 1892-93, periodo fertilissimo per lo sviluppo delle sue ricerche scientifiche, trascorse alcuni mesi a Torino per seguire l'insegnamento di C. Segre. Il grande valore dei suoi primi lavori era stato ormai unanimemente riconosciuto e cosi l'E. nel gennaio del 1894 ebbe l'incarico di geometria proiettiva e descrittiva presso l'università di Bologna. Nel 1896, in seguito a concorso, fu nominato professore della stessa materia in quella università.
All'inizio del 1922 accettò l'offerta di ricoprire la cattedra di matematiche superiori dell'università di Roma e poi la cattedra di geometria superiore. Nell'ambiente universitario di Roma, più vasto e meno raccolto, non ritrovò la stessa facilità a stabilire quegli scambi diretti di idee e quei contatti interdisciplinari che erano cosi consoni al suo carattere ed alla sua mentalità scientifico-filosofica. Tuttavia, anche a Roma egli lasciò importanti tracce della sua multiforme e instancabile attività, in particolare nella fondazione dell'Istituto nazionale per la storia delle scienze presso l'università di Roma, di cui fu presidente e nell'ambito delle cui attività organizzò una Scuola di storia delle scienze. A partire dal 1922 fino alla morte fu direttore del Periodico di matematiche, rivolto agli insegnanti delle scuole secondarie e che rinnovò radicalmente elevandone il livello; ed a partire dallo stesso anno, per dodici anni fu presidente della Società italiana di scienze fisiche e matematiche "Mathesis".
Dal 1938 al 1944 fu sospeso dall'insegnamento per le leggi razziali antiebraiche. Nel 1944 gli fu restituita la cattedra universitaria. Tuttavia era ormai stanco e sofferente per un'affezione cardiaca. Mori il 14 giugno 1946 a Roma.
Le ricerche dell'E. sulla teoria delle superficie possono dividersi in due gruppi, di cui il primo tratta della teoria generaledella geometria sopra una superficie algebrica e della determinazione degli invarianti per trasformazioni birazionali, mentre il secondo concerne i problemi di classificazione delle superficie ed in particolare delle superficie dei primi generi. È sul primo gruppo di temi che presero le mosse le prime ricerche giovanili.
Nell'affrontare i problemi della geometria sopra una superficie e lo studio delle proprietà invarianti per trasformazioni birazionali erano disponibili pochi strumenti e risultati già acquisiti: fra i pochi contributi sull'argomento spiccava una memoria di M. Noether, importante ma alquanto oscura. In pochi mesi, dal gennaio al giugno del 1893, l'E. scrisse una memoria nella quale era stabilito un pilastro della teoria, e cioè la teoria generale dei sistemi lineari di curve sopra le superficie algebriche, che consente di costruire gran parte della geometria sopra le superficie. Questa memoria (Ricerche di geometria sulle superficie algebriche, in Mem. d. Acc. d. scienze di Torino, s. 2, XLIV [1893], pp. 171-232) fu riveduta in alcune parti che presentavano imperfezioni e ripubblicata in una seconda versione nel 1896 (Introduzione alla geometria sopra le superficie algebriche, in Memorie della Società dei XL, s. 3, X [1896], pp. 1-81), che si presenta sotto l'aspetto di una vera e propria teoria generale, un aspetto che, come ebbe a dire Castelnuovo, "è rimasto ormai nella scienza". Una terza trattazione ancor più compiuta venne pubblicata nel 1901 (Intorno ai fondamenti della geometria sulle superficie algebriche, in Mem. d. Acc. d. scienze di Torino, s. 2, LII [1901], pp. 19-40).
L'E. introduceva delle operazioni algebriche fra i sistemi lineari completi e definiva mediante una relazione funzionale un'operazione, la quale permetteva di passare da un sistema lineare ad un altro, detto sistema aggiunto. Mostrò quindi che il residuo di un sistema lineare rispetto al sistema aggiunto non dipende dal sistema di partenza ed ha carattere invariante rispetto alle trasformazioni birazionali della superficie in un'altra: questo residuo viene detto sistema canonico. Dall'esame del sistema canonico e delle relazioni fra un sistema e il proprio aggiunto l'E. ricavò dei caratteri numerici invarianti detti generi: il genere geometrico pg, il genere aritmetico pa, il genere lineare e i plurigeneri. Tre di questi caratteri erano noti al Noether, il quale riteneva che i primi due dovessero coincidere, mentre l'E. mostrò che cosi non è e che i caratteri invarianti essenziali di una superficie sono molto più numerosi.