SOPRA LA DISTRIBUZIONE DELLE CORRENTI ELETTRICHE IN UNA LASTRA RETTANGOLARE.

Pisa, Nuovo Cimento, 1870. 8°, pp, 7, brossura coeva azzurrina. Ottima copia. Estratto dalla Serie II, volume III, fascicolo di Febbraio-Marzo 1870.

BETTI, Enrico. - Nacque a Pistoia il 21 ott. 1823; compiuti qui gli studi classici, si laureò in matematica nel 1846 presso l'università di Pisa, dove ebbe come maestro O. F. Mossotti. Nominato assistente in quella università, nel 1848 prese parte col battaglione universitario toscano alla battaglia di Curtatone. Nel 1849 insegnò nel liceo di Pistoia, nel 1854 in quello di Firenze; nel 1857 fu nominato professore di algebra superiore nell'università di Pisa; nel 1859 passò all'insegnamento di analisi e geometria superiore e dal 1864 successe al Mossotti sulla cattedra di fisica matematica mentre dal i870 in poi, l'insegnamento dell'analisi e della geometria fu sostituito dalla meccanica celeste; dal 1864 diresse la Scuola normale superiore di Pisa, sino alla morte avvenuta a Soiana (Pisa) l'11 agosto 1892.
Salito in grande fama per le sue ricerche, il B. ebbe alti onori: fu membro delle maggiori accademie italiane e straniere, decorato al merito civile di Savoia. Eletto più volte deputato al Parlamento dal collegio di Pistoia, fu segretario generale del ministero della Pubblica istruzione dal 1874 al 1876 e senatore dei Regno dal 1884.
I lavori del B. nel periodo che va dal 1850 al 1860 riguardano l'algebra e si riferiscono principalinente alla ricedelle condizioni necessarie e sufficienti peché un'equazione algebrica sia risolubile pradicali. Il Kronecker, partendo dai prrisultati da lui conseguiti, trovò legenerali di risoluzione per legrado primo risolubili per radicali; subito dopo il B. stesso diede le formule per quelle equazioni il cui grado è la potenza di un numero primo (Sopra la più generale funzione algebrica che puó sodisfare una equazione il grado della quale è potenza di un numero primo,in Annali di scienze matematiche e fisiche,VI[1855], pp. 260-72).
In quell'epoca era stata lanciata una sfida dal Galois con una celebre lettera, scritta a Chevalier, durante la notte che precedette il duello che troncò la vita del Galois, il più giovane e forse il più grande matematico di quel tempo. In quella lettera egli aveva enunciati, senza dimostrarli, una serie di teoremi che affaticarono le menti dei più eminenti analisti. Fu merito grandissimo deil B. aver dato dimostrazioni rigorose di essi. Tra tutti, era importantissimo il risultato secondo cui "l'equazione modulare per la trasformazione delle funzioni ellittiche nei casi di p = 5, 7, 11 non è risolubile per radicali, ma può abbassarsi dal grado p + 1 al grado p". Tale teorema fu dimostrato dal B. nel 1853 (Sopra l'abbassamento delle equazioni modulari delle funzioni ellittiche, ibid.,IV [1853], pp. 91-100). Nel corso di taliricerche il B., trovata la risolvente di 5° grado dell'equazione modulare, cercò di porla sotto la forma detta di Jerrard alla quale, mediante una trasformazione di Tschirnauss, si può ridurre qualsiasi equazione di 5° grado e che manca dei termini di 4°, 3°, 2° ordine ed ha un solo coefficiente letterale. Egli era riuscito a dimostrare che dalla risolvente potevano eliminarsi due termini, gli mancava solo di far sparire il terzo, quando l'Hermite ed il Kronecker pubblicarono le loro dimostrazioni.
In un secondo periodo, il B. sì occupò di analisi e più specificamente di teoria delle funzioni; in questo campo fu seguace del Riemann, con cui strinse amicizia durante il soggiorno di questo a Pisa. In quel tempo due erano le correnti che dividevano i matematici: i seguaci di Jacobi, che cercavano di dedurre le proprietà delle funzioni dalle loro espressioni analitiche, e quelli di Abel e di Riemann, i quali volevano dedurre tutte le proprietà delle funzioni da alcune proprietà fondamentali o caratteristiche che servivano a definire le funzioni medesime. L'influenza nel B. dei metodi riemanniani si mostra chiaramente, oltre che in alcuni lavori prettamente di analisi e geometria, nei numerosi lavori di fisica matematica che, direttamente o indirettamente, abbracciano il periodoche va dal 1864 sino alla morte. Per quanto riguarda la geometria, è ispirata ai lavori del Riemann sulla connessione delle superfici la ricerca condotta dal B. sopra gli spazi ad unnumero qualunque di dimensioni (Sopra gli spazi di un numero qualunque di dimensioni,in Annali di matematica,s. 2, IV [1871] pp. 140-158). Egli trovò delle proprietà di uno spazio finito che sono indipendenti dalla grandezza delle sue dimensioni e dalla forma dei suoi elementi, ma che dipendono, invece, dal modo di connessione delle sue parti. Considerando nuove specie di connessioni, stabilì una serie di teoremi per gli spazi, a qualsivoglia numero di dimensioni.A tale memoria per l'estensione delle ricerche nel campo della teoria delle funzioni, il B. dedicò molto tempo e lungo studio. In un altro lavoro, anteriore al precedente, diede alcuni eleganti teoremi sulle curve tracciate sopra una superficie qualunque, chiamate da lui ellissi ed iperboli geodetiche, che forniscono una bella estensione delle proprietà delle ellissi e delle iperboli ordinarie. Il B. coltivò quasi tutte le branche della fisica matematica: la teoria dei potenziale, quella della propagazione dei calore, la termodinamica, l'elettiicità, il magnetismo, la capillarità, l'idrodinamica, l'elasticità e il problema degli n corpi. Ad ognuno dei problemi trattati apportò sempre notevoli contributied escogitò inoltre per essi nuovi metodi d'indagine.
La determinazione, dovuta al B., della distribuzione delle correnti elettriche in una lastra rettangolare è una interessante applìcazione dei metodi che servono a dedurre le funzioni dalle loro proprietà caratteristiche. La teoria della capillarità (Sopra la teoria della capillarità, in Ann. d. università toscane, IX [1866], pp. 5-24; Teoria della capillarità, in Nuovo Cimento, s. 1, XXV [1867], pp. 81-105, 225-37) è svolta dal B. in modo da far dipendere tutti i fenomeni capillari da tre proprietà fondamentali della materia: 1) i punti materiali agiscono gli uni sugli altri a distanze piccolissime, dando luogo alle forze di coesione e di adesione; 2) queste forze devono avere un potenziale; 3)l'azione, essendo uguale e contraria alla reazione, dati due sistemi A e D in presenza l'uno dell'altro, il potenziale di B sopra A deve essere uguale al potenziale di A sopra B.Tale modo di procedere, sia in questo sia in altri problemi di fisica matematica, riduce in sostanza a pochi principi meccanici fondamentali le leggi dalle quali, con processi analitici, si debbono dedurre le relazioni fra le quantità misurate nei fenomeni osservati.
Di particolare importanza è la memoria del 1863-64, Teorica delle forze che agiscono secondo la legge di Newton e sua applicazione alla elettricità statica (Nuovo Cimento, s. 1, XVIII, pp. 385-402; XIX, pp. 59-75, 77-95, 149-175, 357-377; XX, pp. 19-39, 121-141). Tale opera contiene sia le teorie già note, sia quelle dei B., sviluppate con metodi originali conducenti ad importanti risultati. In essa viene determinata la funzione potenziale di una massa omogenea compresa tra due ellissoidi omotetiche, e la funzione potenziale per una massa compresa fra due ellissoidi omotetiche ed avente densità variabile con continuità da strato a strato, nell'ipotesi che ciascuno strato sia limitato da due ellissoidi omotetiche infinitamente vicine fra loro.
Nelle applicazioni della teoria all'elettrostatica importante è la risoluzione del problema della distribuzione dell'elettricità in equilibrio sopra una calotta sferica e quello dell'elettricità indotta sopra una calotta sferica conduttrice in comunicazione col suolo e in presenza di una massa elettrica concentrata in un punto. Anche interessante è lasoluzione del problema della distribuzione della elettricità in equilibrio sopra due cilindri a generatrici parallele. Importantissima è la discussione del B. sulle idee del Poisson riguardanti la teoria matematica della induzione magnetica. Nella esposizione della teoria dei dielettrici egli dà una nuova spiegazione delle scariche dei condensatori. L'elettrodinamica è considerata come una delle applicazioni della teoria delle forze newtoniane in cui la legge di Newton modificata coll'introduzione del nuovo parametro temporale necessario per la trasmissione dell'azione.
La teoria matematica dell'elasticità (Teoria della elasticità,in Nuovo Cimento,s. 2, VIIVIII [1872], pp. 5-21, 69-97, 158-180, 357-367; IX [1873], pp. 34-43; X [1874], pp. 58-84) è stata portata dal B. su nuove basi; partendo da una definizìone semplicissima della elasticità, scaturiscono spontaneamente le equazioni dell'equilibrio elastico in coordinate generali per la cui integrazione sono applicati quei metodi che erano riusciti così fecondi per le equazioni di Laplace. A fondamento del suo metodo il B. pose un teorema, analogo al teorema di Green, ed ormiai noto col nome di "teorema di Betti", che, seguito e perfezionato dai matematici posteriori, fu applicato felicemente alla risoluzione dei più importanti problemi di fisica matematica e di scienza delle costruzioni.

Nel frattempo il B. non trascurò di arricchire di nuovi metodi e teoremi quelle parti dell'analisi che più frequentemente vengono applicate in quel ramo di scienza. Di ciò sono testimonianza le memorie sulle funzioni sferiche e sui sistemi tripli di superficie isoterme ed ortogonali (Sopra le funzioni sferiche,in Annali di matem.,s. 2, 1 [1867], pp. 81-87; Sopra i sistemi tripli di superficie isoterme e orrogonali, ibid., s. 2, VIII [1877], pp. 138-195).

Nel campo della meccanica celeste, il B. generalizzò gli studi di Lagrange sul problema dei tre corpi (Sopra una estensione della terza legge di Keplero,in Rendiconti del circolo matem. di Palermo,II [1888], pp. 145-47).Il Lagrange, infatti, aveva diviso in dueparti il problema della determinazione del moto di tre corpi che si attraggono secondola legge di Newton: in primo luogo determinava la forma del triangolo avente per vortici i corpi mobili, poi passava alla ricerca della posizione nello spazio del piano che li conteneva e infine determinava l'orientazione del triangolo sul piano. La soluzione del primo problema era così ridotta a sette integrazioni e quella del secondo ad una quadratura. Il B., nella sua generalizzazione,determinò prima la configurazione formata da n punti che si attraggono o respingono con una forza, funzione soltanto delle loro mutue distanze, e ciò comportava 6n-12 integrazioni (per cui l'analogo caso di Lagrange dipenderebbe solo da 6integrazioni); e dimostrò poi come, mediante una quadratura, si possa giungere alla determinazione della posizione degli n punti nello spazio.

Un altro problema che interessò molto il B. riguarda la ricerca delle forme di equilibrio permanente di una massa fluida omogenea in movimento, con particelle attraentesi per effetto di forze newtoniane. Tale problema, legato all'ipotesi cosmogonica di Laplace, fu profondamente meditato dal B., il quale affrontò un problema ancora più difficile e consistente nel determinare quei particolari movimenti che conservano, ad una massa fluida eterogenea, la forma ellissoidale (Sopra il moto di un ellissoide fluidoeterogeneo,in Atti Accad. d. Lincei, s. 3,V, Transunti [1881], pp. 201 s.; Sopra i moti che conservano la figura ellissoidale a una massa fluida eterogenea,in Annali di matem.,s. 2, X [1881] pp. 173-87).

In collaborazione con F. Brioschi, il B. tradusse gli Elementi di Euclide e da solo la classica Algebra elementare del Bertrand, contribuendo a rialzare in Italia il livello dello studio delle matematiche elementari, come aveva grandemente contribuito a rialzare quello delle matematiche superiori.

A cura dell'Accademia dei Lincei sono state pubblicate le Opere matematiche del B. in due volumi (Milano 1903-1913).

Bibl.: E. Padova, Comm. di E. B.,in Atti d. Ist. Veneto,s. 7, IV, 1-6 (1892-93), pp. 610-621; F. Brioschi, E. B.,in Annali di matem.,s. 2, XX (1892), p. 256; V. Volterra, E. B.,in NuovoCimento,s. 3, XXXII (1892), pp. 5-7; V. Volterra. Saggi scientifici,Bologna 1920, pp. 35, 55 ss.; A. Carugo-F. Mondella, Lo sviluppodelle scienze e delle tecniche in Italia…,in Nuove questioni del Risorg. e dell'Unità d'Italia,II,Milano 1961, ad Indicem; Encicl. Ital. VI,pp. 834-835.
http://www.treccani.it/enciclopedia/enrico-betti_(Dizionario-Biografico)/